(2026-8-9) 微分 積分

1660–1680 年，牛頓（Isaac Newton）與萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）各自獨立創立了微積分，其關鍵突破在於發現了微積分基本定理——將「求切線（微分）」與「求面積（積分）」這兩個看似無關的問題聯繫起來，證實它們互為逆運算。

1665–1666年，因黑死病避居鄉下期間，牛頓從物理與運動學角度出發，將變數視為隨時間連續變化的「流量」，變化的速率稱為「流數」（即導數）。他主要將其作為研究天體力學與萬有引力的數學工具。

1675–1684年，萊布尼茲從幾何與哲學角度出發，將微積分視為「無限小求和」與「無限小差值」。他設計了極具優越性的符號系統，並於 1684 年發表首篇微積分論文。

早期微積分雖然極為實用，但對「無窮小（Infinitesimal）」的定義模糊。

不論是牛頓的「流數術」還是萊布尼茲的「無窮小（Infinitesimal）」，在 17 世紀都缺乏嚴格的邏輯支撐：

牛頓把變量想像成随時間流逝的運動；

萊布尼茲把 dx 想像成一個「無限小但又不等於零」的數字（在計算時先當作非零分子，最後又把它當作零消掉，這在邏輯上被批評為自相矛盾）。

直到 19 世紀，柯西（Cauchy）與魏爾斯特拉斯（Weierstrass）導入了嚴密的「極限（ϵ-δ 語言）」，才為微積分奠定了穩固的邏輯基礎。

現代主要使用的是萊布尼茲的那一套，在教科書、工程學和物理學中所使用的符號，幾乎全部繼承自萊布尼茲。牛頓使用的是「點記法」（例如 x ̇ 代表對時間的導數）。這種表示法因為簡潔，至今仍保留在物理學與機械工程中。